𝕄𝕖𝕥𝕠𝕕𝕠 𝕕𝕖 𝔼𝕦𝕝𝕖𝕣   (topo)

Aqui vão alguns gráficos de equações diferenciais ordinárias que eu fiz com uma implementação do método de Euler em Python, plotados usando matplotlib. Cada linha é a aproximação da solução da EDO em uma condição inicial diferente.

 Aqui os domínios foram discretizados em 10'000 pontos, e foram tomadas condições iniciais com 0.05 de diferença entre elas.

$$\dot{y} = y(1-y)$$

Esse é um exemplo que o professor passou em classe. Essa EDO tem $y=0$ e $y=1$ como pontos de estabilidade, mas $y=0$ é um ponto expulsor (soluções próximas se afastam), enquanto $y=1$ é um ponto atrator (soluções próximas se aproximam).

$$\dot{y} = y^2(1-y)$$

Essa é parecida, mas o ponto de baixo agora é atrator para soluções abaixo dele e repulsor para soluções acima. Bem estranho.

$$\dot{y} = y(1-y^2)$$

Aqui o ponto $x=0$ é um repulsor, enquanto $y=1$ e $y=-1$ são atratores.

$$\dot{y} = \sin(t) \cdot y$$

Nesse, o $y=0$ é estável, mas não existem atratores nem repulsores.

$$\dot{y} = \tan(t) \cdot y$$

Parecido com o anterior, mas com um comportamento assintótico em alguns pontos periódicamente (por conta do comportamento semelhante da tangente). Esse gráfico só aparece assim pois o domínio é discretizado, então os pontos em que a solução diverge para o infinito são pulados. Na realidade, o intervalo de solução deve ser escolhido dentre um desses intervalos do tipo $(\pi/2 + 2k\pi, 2\pi/3 + 2k\pi)$. Mas, não deixa de ser maneiro :)

 𝔸𝕦𝕞𝕖𝕟𝕥𝕠 𝕡𝕣𝕠𝕘𝕣𝕖𝕤𝕤𝕚𝕧𝕠 𝕕𝕠 $n$   (topo)

 𝕄𝕖𝕥𝕠𝕕𝕠 𝕕𝕖 ℙ𝕚𝕔𝕒𝕣𝕕   (topo)

Tomando a EDO $\dot{y} = t \cdot y \cdot (1-y)$, utilizei o método de integração numérica do SAGE para aplicar sucessivamente o Método de Picard (nota, wiki), obtendo aproximações sucessivas da solução para a condição inicial $y(0) = 0.2$. Primeiro, no terminal do SAGE, importamos os métodos de integração simbólica e definimos $f$, $y_0$ e $t_0$:

e então, definimos a primeira aproximação $\varphi_0 = y_0$ e melhoramos a aproximação conforme o método.

Uma vez que $f$ é uma função polinomial, todas as aproximações são polinômios e, como a integração de polinômios é simples, podemos aplicar o método quantas vezes quisermos. Então, basta plotar!

A aproximação exata por método de Euler da EDO nessa condição inicial é

Cada aproximação sucessiva do método nos rende

Sinceramente, esses resultados são interessantes mas... não muito impressionates! Eles exemplificam como o método de Picard tem seu valor analítico, mas simplesmente não rende aproximações boas o suficiente para uma EDO minimamente complicada.

Outro detalhe é a natureza exponencial do grau desses polinômios. Nós começamos com um polinômio de grau 2, como mostrado acima, e esse grau rapidamente dispara:

$$ \begin{align*} \text{deg}(\varphi_1) &= 2 \\ \text{deg}(\varphi_2) &= 6 \\ \text{deg}(\varphi_3) &= 14 \\ \text{deg}(\varphi_4) &= 30 \\ \text{deg}(\varphi_5) &= 62 \\ \text{deg}(\varphi_6) &= 126 \\ \end{align*} $$

As próximas já teriam grau 254, e então 510. O SAGE já se recusa a plotar a sétima aproximação, pois não consegue calcular $\varphi_7(5)$ (e certamente a aproximação ainda não está nem próxima do que temos com o Euler!)

A título de curiosidade, a oitava aproximação (com coeficientes em ponto flutuante) já é: